向量值函数

向量值函数：数集 $D \subset R$ ，则称映射 $f : D \to R^{n}$ 为一元向量值函数，记为 $r = f (t), t \in D$ ，将数集中的每一个元素映射为一个向量：

\begin{array}{r} f (t) = (f_{1} (t), f_{2} (t), \dots, f_{n} (t)) t \in D \end{array}

\begin{aligned} f (t) & = f_{1} (t) i + f_{2} (t) j + f_{3} (t) k = (f_{1} (t), f_{2} (t), f_{3} (t)) t \in D \end{aligned}

向量值函数的极限：
向量值函数 $f (t)$ 在 $t_{0}$ 的某一去心邻域内有定义，如果存在一个常向量 $r_{0}$ ，对于任意给定的正数 $ε$ ，总存在正数 $δ$ ，使得当 $t$ 满足 $0 < | t - t_{0} | < δ$ 时, 对应的函数值 $f (t)$ 都满足： $| f (t) - r_{0} | < ε$ ，则称常向量 $r_{0}$ 为向量值函数 $f (t)$ 当 $t \to t_{0}$ 时的极限：

\begin{array}{r} lim_{t \to t_{0}} f (t) = r_{0} 或 f (t) \to r_{0}, t \to t_{0} \end{array}

极限存在的充分必要条件时所有分量函数的极限都存在

向量值函数的导向量： $r = f (t)$

\begin{array}{r} f^{'} (t_{0}) = lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ r}{Δ t} = lim_{Δ t \to 0} \frac{f (t_{0} + Δ t) - f (t_{0})}{Δ t} \end{array}

导向量 $f (t_{0})$ 是向量值函数 $r = f (t)$ 所对应的终端曲线 $Γ$ 在点处的一个切向量，指向与 $t$ 的增长方向一致